Vyriešiť 54(1+x)(1+x)=1215

$$54(1+x)(1+x)=1215$$

Riešenie pre x

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx 3,74341649$$

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx -5,74341649$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Vynásobením 1+x a 1+x získate \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Na rozloženie výrazu \left(1+x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 54 a 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Odčítajte 1215 z oboch strán.

$$54+108x+54x^{2}-1215=0$$

Odčítajte 1215 z 54 a dostanete -1161.

$$-1161+108x+54x^{2}=0$$

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$54x^{2}+108x-1161=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 54 za a, 108 za b a -1161 za c.

$$x=\frac{-108±\sqrt{108^{2}-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Umocnite číslo 108.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 54.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-216\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Vynásobte číslo -216 číslom -1161.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664+250776}}{2\times 54}$$

Prirátajte 11664 ku 250776.

$$x=\frac{-108±\sqrt{262440}}{2\times 54}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 262440.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{2\times 54}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 54.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}, keď ± je plus. Prirátajte -108 ku 162\sqrt{10}.

$$x=\frac{162\sqrt{10}-108}{108}$$

Vydeľte číslo -108+162\sqrt{10} číslom 108.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 162\sqrt{10} od čísla -108.

$$x=\frac{-162\sqrt{10}-108}{108}$$

Vydeľte číslo -108-162\sqrt{10} číslom 108.

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Vynásobením 1+x a 1+x získate \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Na rozloženie výrazu \left(1+x\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 54 a 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Odčítajte 54 z oboch strán.

$$108x+54x^{2}=1215-54$$

Odčítajte 54 z 1215 a dostanete 1161.

$$108x+54x^{2}=1161$$

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$54x^{2}+108x=1161$$

Vydeľte obe strany hodnotou 54.

$$\frac{54x^{2}+108x}{54}=\frac{1161}{54}$$

Delenie číslom 54 ruší násobenie číslom 54.

$$x^{2}+\frac{108}{54}x=\frac{1161}{54}$$

Vydeľte číslo 108 číslom 54.

$$x^{2}+2x=\frac{1161}{54}$$

Vykráťte zlomok \frac{1161}{54} na základný tvar extrakciou a elimináciou 27.

$$x^{2}+2x=\frac{43}{2}$$

Číslo 2, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok 1. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu 1. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{43}{2}+1^{2}$$

Umocnite číslo 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{43}{2}+1$$

Prirátajte \frac{43}{2} ku 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{45}{2}$$

Rozložte x^{2}+2x+1 na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{45}{2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{2}}$$

Zjednodušte.

$$x+1=\frac{3\sqrt{10}}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

Odčítajte hodnotu 1 od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$