Vyriešiť 5x-2y=1;3x+5y=13

$$5 x - 2 y = 1 ; 3 x + 5 y = 13$$

Riešenie pre x,y

$$x=1$$

$$y=2$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$5x-2y=1$$

Prirátajte 2y ku obom stranám rovnice.

$$5x=2y+1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{5} číslom 2y+1.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

Dosaďte \frac{2y+1}{5} za x v druhej rovnici 3x+5y=13.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+5y=13$$

Vynásobte číslo 3 číslom \frac{2y+1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{3}{5}+5y=13$$

Prirátajte \frac{6y}{5} ku 5y.

$$\frac{31}{5}y+\frac{3}{5}=13$$

Odčítajte hodnotu \frac{3}{5} od oboch strán rovnice.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou \frac{31}{5}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$y=2$$

V rovnici x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5} dosaďte y za premennú 2. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{1}{5}$$

Vynásobte číslo \frac{2}{5} číslom 2.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

Prirátajte \frac{1}{5} ku \frac{4}{5} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=1$$

Systém je vyriešený.

$$x=1,y=2$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}+\frac{2}{31}\times 13\\-\frac{3}{31}+\frac{5}{31}\times 13\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=1,y=2$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Ak chcete, aby boli členy 5x a 3x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 3 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3,5\times 3x+5\times 5y=5\times 13$$

Zjednodušte.

$$15x-6y=3,15x+25y=65$$

Odčítajte rovnicu 15x+25y=65 od rovnice 15x-6y=3 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$15x-15x-6y-25y=3-65$$

Prirátajte 15x ku -15x. Členy 15x a -15x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-6y-25y=3-65$$

Prirátajte -6y ku -25y.

$$-31y=3-65$$

Prirátajte 3 ku -65.

$$-31y=-62$$

Vydeľte obe strany hodnotou -31.

$$y=2$$

V rovnici 3x+5y=13 dosaďte y za premennú 2. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$3x+5\times 2=13$$

Vynásobte číslo 5 číslom 2.

$$3x+10=13$$

Odčítajte hodnotu 10 od oboch strán rovnice.

$$3x=3$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$x=1$$

Systém je vyriešený.

$$x=1,y=2$$