Vyriešiť 5x^2-7x-3=0

$$5 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{\sqrt{109} + 7}{10} \approx 1,744030651$$

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}\approx -0,344030651$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$5x^{2}-7x-3=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 5 za a, -7 za b a -3 za c.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Umocnite číslo -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -20 číslom -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+60}}{2\times 5}$$

Prirátajte 49 ku 60.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

Opak čísla -7 je 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 5.

$$x=\frac{7±\sqrt{109}}{10}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{7±\sqrt{109}}{10}, keď ± je plus. Prirátajte 7 ku \sqrt{109}.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{7±\sqrt{109}}{10}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo \sqrt{109} od čísla 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10} x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x-3=0$$

Prirátajte 3 ku obom stranám rovnice.

$$5x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -3 od seba samého bude 0.

$$5x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

Odčítajte číslo -3 od čísla 0.

$$5x^{2}-7x=3$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{3}{5}$$

Delenie číslom 5 ruší násobenie číslom 5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{3}{5}$$

Číslo -\frac{7}{5}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{7}{10}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{7}{10}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{7}{10} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{3}{5}+\frac{49}{100}$$

Prirátajte \frac{3}{5} ku \frac{49}{100} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{109}{100}$$

Rozložte x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{109}{100}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{100}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{109}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{109}}{10}$$

Prirátajte \frac{7}{10} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{109}+7}{10} x=\frac{7-\sqrt{109}}{10}$$