Vyriešiť 5x^2-7x=24

$$5 x ^ { 2 } - 7 x = 24$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=3$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Odčítajte 24 z oboch strán.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 5x^{2}+ax+bx-24. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-7 ab=5\left(-24\right)=-120$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -7 súčtu.

$$a=-15 b=8$$

Zapíšte 5x^{2}-7x-24 ako výraz \left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right).

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(8x-24\right)$$

5x na prvej skupine a 8 v druhá skupina.

$$5x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

Vyberte spoločný člen x-3 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-3\right)\left(5x+8\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-3=0 a 5x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$5x^{2}-7x=24$$

Odčítajte hodnotu 24 od oboch strán rovnice.

$$5x^{2}-7x-24=24-24$$

Výsledkom odčítania čísla 24 od seba samého bude 0.

$$5x^{2}-7x-24=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 5 za a, -7 za b a -24 za c.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Umocnite číslo -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 5\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-20\left(-24\right)}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -20 číslom -24.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+480}}{2\times 5}$$

Prirátajte 49 ku 480.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{529}}{2\times 5}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 529.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±23}{2\times 5}$$

Opak čísla -7 je 7.

$$x=\frac{7±23}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 5.

$$x=\frac{7±23}{10}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{7±23}{10}, keď ± je plus. Prirátajte 7 ku 23.

$$x=\frac{30}{10}$$

Vydeľte číslo 30 číslom 10.

$$x=3$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{7±23}{10}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 23 od čísla 7.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Vykráťte zlomok \frac{-16}{10} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-7x=24$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$\frac{5x^{2}-7x}{5}=\frac{24}{5}$$

Delenie číslom 5 ruší násobenie číslom 5.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{24}{5}$$

Číslo -\frac{7}{5}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{7}{10}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{7}{10}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{24}{5}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{7}{10} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{24}{5}+\frac{49}{100}$$

Prirátajte \frac{24}{5} ku \frac{49}{100} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{529}{100}$$

Rozložte x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{529}{100}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{100}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{23}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{23}{10}$$

Prirátajte \frac{7}{10} ku obom stranám rovnice.

$$x=3 x=-\frac{8}{5}$$