Vyriešiť 5x^2-40x+85=0

$$5 x ^ { 2 } - 40 x + 85 = 0$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=4+i$$

$$x=4-i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 5 za a, -40 za b a 85 za c.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Umocnite číslo -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 5\times 85}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 5.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-20\times 85}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -20 číslom 85.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1700}}{2\times 5}$$

Prirátajte 1600 ku -1700.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{-100}}{2\times 5}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -100.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±10i}{2\times 5}$$

Opak čísla -40 je 40.

$$x=\frac{40±10i}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 5.

$$x=\frac{40±10i}{10}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{40±10i}{10}, keď ± je plus. Prirátajte 40 ku 10i.

$$x=\frac{40+10i}{10}$$

Vydeľte číslo 40+10i číslom 10.

$$x=4+i$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{40±10i}{10}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 10i od čísla 40.

$$x=\frac{40-10i}{10}$$

Vydeľte číslo 40-10i číslom 10.

$$x=4-i$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=4+i x=4-i$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-40x+85=0$$

Odčítajte hodnotu 85 od oboch strán rovnice.

$$5x^{2}-40x+85-85=-85$$

Výsledkom odčítania čísla 85 od seba samého bude 0.

$$5x^{2}-40x=-85$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$\frac{5x^{2}-40x}{5}=-\frac{85}{5}$$

Delenie číslom 5 ruší násobenie číslom 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{5}\right)x=-\frac{85}{5}$$

Vydeľte číslo -40 číslom 5.

$$x^{2}-8x=-\frac{85}{5}$$

Vydeľte číslo -85 číslom 5.

$$x^{2}-8x=-17$$

Číslo -8, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -4. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -4. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-17+\left(-4\right)^{2}$$

Umocnite číslo -4.

$$x^{2}-8x+16=-17+16$$

Prirátajte -17 ku 16.

$$x^{2}-8x+16=-1$$

Rozložte výraz x^{2}-8x+16 na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=-1$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Zjednodušte.

$$x-4=i x-4=-i$$

Prirátajte 4 ku obom stranám rovnice.

$$x=4+i x=4-i$$