Vyriešiť 5x^2+70x-75=0

$$5 x ^ { 2 } + 70 x - 75 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-15$$

$$x=1$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$x^{2}+14x-15=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare x^{2}+ax+bx-15. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=14 ab=1\left(-15\right)=-15$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -15.

$$-1,15 -3,5$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 14 súčtu.

$$a=-1 b=15$$

Zapíšte x^{2}+14x-15 ako výraz \left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(15x-15\right)$$

x na prvej skupine a 15 v druhá skupina.

$$x\left(x-1\right)+15\left(x-1\right)$$

Vyberte spoločný člen x-1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-1\right)\left(x+15\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-1=0 a x+15=0.

$$x=1 x=-15$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 5 za a, 70 za b a -75 za c.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Umocnite číslo 70.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 5\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 5.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-20\left(-75\right)}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -20 číslom -75.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900+1500}}{2\times 5}$$

Prirátajte 4900 ku 1500.

$$x=\frac{-70±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 6400.

$$x=\frac{-70±80}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 5.

$$x=\frac{-70±80}{10}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-70±80}{10}, keď ± je plus. Prirátajte -70 ku 80.

$$x=\frac{10}{10}$$

Vydeľte číslo 10 číslom 10.

$$x=1$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-70±80}{10}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 80 od čísla -70.

$$x=-\frac{150}{10}$$

Vydeľte číslo -150 číslom 10.

$$x=-15$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=1 x=-15$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+70x-75=0$$

Prirátajte 75 ku obom stranám rovnice.

$$5x^{2}+70x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -75 od seba samého bude 0.

$$5x^{2}+70x=-\left(-75\right)$$

Odčítajte číslo -75 od čísla 0.

$$5x^{2}+70x=75$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$\frac{5x^{2}+70x}{5}=\frac{75}{5}$$

Delenie číslom 5 ruší násobenie číslom 5.

$$x^{2}+\frac{70}{5}x=\frac{75}{5}$$

Vydeľte číslo 70 číslom 5.

$$x^{2}+14x=\frac{75}{5}$$

Vydeľte číslo 75 číslom 5.

$$x^{2}+14x=15$$

Číslo 14, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok 7. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu 7. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+14x+7^{2}=15+7^{2}$$

Umocnite číslo 7.

$$x^{2}+14x+49=15+49$$

Prirátajte 15 ku 49.

$$x^{2}+14x+49=64$$

Rozložte x^{2}+14x+49 na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=64$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Zjednodušte.

$$x+7=8 x+7=-8$$

Odčítajte hodnotu 7 od oboch strán rovnice.

$$x=1 x=-15$$