Vyriešiť 5x^2+3x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0,3+0,331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0,3-0,331662479i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 5 za a, 3 za b a 1 za c.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Umocnite číslo 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

Prirátajte 9 ku -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}, keď ± je plus. Prirátajte -3 ku i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo i\sqrt{11} od čísla -3.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Odčítajte hodnotu 1 od oboch strán rovnice.

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

Výsledkom odčítania čísla 1 od seba samého bude 0.

$$5x^{2}+3x=-1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Delenie číslom 5 ruší násobenie číslom 5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Číslo \frac{3}{5}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{3}{10}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{3}{10}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{3}{10} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

Prirátajte -\frac{1}{5} ku \frac{9}{100} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

Rozložte x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Odčítajte hodnotu \frac{3}{10} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$