Vyriešiť 5x^2+21x+4=0

$$5 x ^ { 2 } + 21 x + 4 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-4$$

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 5x^{2}+ax+bx+4. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=21 ab=5\times 4=20$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je kladné, a a b sú oba kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 21 súčtu.

$$a=1 b=20$$

Zapíšte 5x^{2}+21x+4 ako výraz \left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right).

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(20x+4\right)$$

x na prvej skupine a 4 v druhá skupina.

$$x\left(5x+1\right)+4\left(5x+1\right)$$

Vyberte spoločný člen 5x+1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(5x+1\right)\left(x+4\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 5x+1=0 a x+4=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 5 za a, 21 za b a 4 za c.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Umocnite číslo 21.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 5.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-20\times 4}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -20 číslom 4.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-80}}{2\times 5}$$

Prirátajte 441 ku -80.

$$x=\frac{-21±\sqrt{361}}{2\times 5}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 361.

$$x=\frac{-21±19}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 5.

$$x=\frac{-21±19}{10}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-21±19}{10}, keď ± je plus. Prirátajte -21 ku 19.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Vykráťte zlomok \frac{-2}{10} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-21±19}{10}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 19 od čísla -21.

$$x=-\frac{40}{10}$$

Vydeľte číslo -40 číslom 10.

$$x=-4$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+21x+4=0$$

Odčítajte hodnotu 4 od oboch strán rovnice.

$$5x^{2}+21x+4-4=-4$$

Výsledkom odčítania čísla 4 od seba samého bude 0.

$$5x^{2}+21x=-4$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$\frac{5x^{2}+21x}{5}=-\frac{4}{5}$$

Delenie číslom 5 ruší násobenie číslom 5.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x=-\frac{4}{5}$$

Číslo \frac{21}{5}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{21}{10}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{21}{10}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(\frac{21}{10}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{21}{10} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=-\frac{4}{5}+\frac{441}{100}$$

Prirátajte -\frac{4}{5} ku \frac{441}{100} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100}=\frac{361}{100}$$

Rozložte x^{2}+\frac{21}{5}x+\frac{441}{100} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}=\frac{361}{100}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{100}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{21}{10}=\frac{19}{10} x+\frac{21}{10}=-\frac{19}{10}$$

Odčítajte hodnotu \frac{21}{10} od oboch strán rovnice.

$$x=-\frac{1}{5} x=-4$$