Vyriešiť 5m^2-14m-15=0

$$5 m ^ { 2 } - 14 m - 15 = 0$$

Riešenie pre m

$$m = \frac{2 \sqrt{31} + 7}{5} \approx 3,627105745$$

$$m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}\approx -0,827105745$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$5m^{2}-14m-15=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 5 za a, -14 za b a -15 za c.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Umocnite číslo -14.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 5.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-20\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -20 číslom -15.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+300}}{2\times 5}$$

Prirátajte 196 ku 300.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{496}}{2\times 5}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 496.

$$m=\frac{-\left(-14\right)±4\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Opak čísla -14 je 14.

$$m=\frac{14±4\sqrt{31}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 5.

$$m=\frac{14±4\sqrt{31}}{10}$$

Vyriešte rovnicu m=\frac{14±4\sqrt{31}}{10}, keď ± je plus. Prirátajte 14 ku 4\sqrt{31}.

$$m=\frac{4\sqrt{31}+14}{10}$$

Vydeľte číslo 14+4\sqrt{31} číslom 10.

$$m=\frac{2\sqrt{31}+7}{5}$$

Vyriešte rovnicu m=\frac{14±4\sqrt{31}}{10}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 4\sqrt{31} od čísla 14.

$$m=\frac{14-4\sqrt{31}}{10}$$

Vydeľte číslo 14-4\sqrt{31} číslom 10.

$$m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$m=\frac{2\sqrt{31}+7}{5} m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$5m^{2}-14m-15=0$$

Prirátajte 15 ku obom stranám rovnice.

$$5m^{2}-14m-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -15 od seba samého bude 0.

$$5m^{2}-14m=-\left(-15\right)$$

Odčítajte číslo -15 od čísla 0.

$$5m^{2}-14m=15$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$\frac{5m^{2}-14m}{5}=\frac{15}{5}$$

Delenie číslom 5 ruší násobenie číslom 5.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m=\frac{15}{5}$$

Vydeľte číslo 15 číslom 5.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m=3$$

Číslo -\frac{14}{5}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{7}{5}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{7}{5}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m+\left(-\frac{7}{5}\right)^{2}=3+\left(-\frac{7}{5}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{7}{5} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m+\frac{49}{25}=3+\frac{49}{25}$$

Prirátajte 3 ku \frac{49}{25}.

$$m^{2}-\frac{14}{5}m+\frac{49}{25}=\frac{124}{25}$$

Rozložte m^{2}-\frac{14}{5}m+\frac{49}{25} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(m-\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{124}{25}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(m-\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{124}{25}}$$

Zjednodušte.

$$m-\frac{7}{5}=\frac{2\sqrt{31}}{5} m-\frac{7}{5}=-\frac{2\sqrt{31}}{5}$$

Prirátajte \frac{7}{5} ku obom stranám rovnice.

$$m=\frac{2\sqrt{31}+7}{5} m=\frac{7-2\sqrt{31}}{5}$$