Vyriešiť 5y^2-90y+54=0

$$5 { y }^{ 2 } -90y+54 = 0$$

Riešenie pre y

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 17,378544026$$

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9\approx 0,621455974$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 5 za a, -90 za b a 54 za c.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Umocnite číslo -90.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 5\times 54}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 5.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-20\times 54}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -20 číslom 54.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-1080}}{2\times 5}$$

Prirátajte 8100 ku -1080.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{7020}}{2\times 5}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 7020.

$$y=\frac{-\left(-90\right)±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Opak čísla -90 je 90.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 5.

$$y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}$$

Vyriešte rovnicu y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}, keď ± je plus. Prirátajte 90 ku 6\sqrt{195}.

$$y=\frac{6\sqrt{195}+90}{10}$$

Vydeľte číslo 90+6\sqrt{195} číslom 10.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Vyriešte rovnicu y=\frac{90±6\sqrt{195}}{10}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 6\sqrt{195} od čísla 90.

$$y=\frac{90-6\sqrt{195}}{10}$$

Vydeľte číslo 90-6\sqrt{195} číslom 10.

$$y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$5y^{2}-90y+54=0$$

Odčítajte hodnotu 54 od oboch strán rovnice.

$$5y^{2}-90y+54-54=-54$$

Výsledkom odčítania čísla 54 od seba samého bude 0.

$$5y^{2}-90y=-54$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$\frac{5y^{2}-90y}{5}=-\frac{54}{5}$$

Delenie číslom 5 ruší násobenie číslom 5.

$$y^{2}+\left(-\frac{90}{5}\right)y=-\frac{54}{5}$$

Vydeľte číslo -90 číslom 5.

$$y^{2}-18y=-\frac{54}{5}$$

Číslo -18, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -9. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -9. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$y^{2}-18y+\left(-9\right)^{2}=-\frac{54}{5}+\left(-9\right)^{2}$$

Umocnite číslo -9.

$$y^{2}-18y+81=-\frac{54}{5}+81$$

Prirátajte -\frac{54}{5} ku 81.

$$y^{2}-18y+81=\frac{351}{5}$$

Rozložte y^{2}-18y+81 na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-9\right)^{2}=\frac{351}{5}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(y-9\right)^{2}}=\sqrt{\frac{351}{5}}$$

Zjednodušte.

$$y-9=\frac{3\sqrt{195}}{5} y-9=-\frac{3\sqrt{195}}{5}$$

Prirátajte 9 ku obom stranám rovnice.

$$y=\frac{3\sqrt{195}}{5}+9 y=-\frac{3\sqrt{195}}{5}+9$$