Vyriešiť 5x^2-x-2184=0

$$5 { x }^{ 2 } -x-2184=0$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{104}{5} = -20\frac{4}{5} = -20,8$$

$$x=21$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 5x^{2}+ax+bx-2184. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-1 ab=5\left(-2184\right)=-10920$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -10920.

$$1,-10920 2,-5460 3,-3640 4,-2730 5,-2184 6,-1820 7,-1560 8,-1365 10,-1092 12,-910 13,-840 14,-780 15,-728 20,-546 21,-520 24,-455 26,-420 28,-390 30,-364 35,-312 39,-280 40,-273 42,-260 52,-210 56,-195 60,-182 65,-168 70,-156 78,-140 84,-130 91,-120 104,-105$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-10920=-10919 2-5460=-5458 3-3640=-3637 4-2730=-2726 5-2184=-2179 6-1820=-1814 7-1560=-1553 8-1365=-1357 10-1092=-1082 12-910=-898 13-840=-827 14-780=-766 15-728=-713 20-546=-526 21-520=-499 24-455=-431 26-420=-394 28-390=-362 30-364=-334 35-312=-277 39-280=-241 40-273=-233 42-260=-218 52-210=-158 56-195=-139 60-182=-122 65-168=-103 70-156=-86 78-140=-62 84-130=-46 91-120=-29 104-105=-1$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -1 súčtu.

$$a=-105 b=104$$

Zapíšte 5x^{2}-x-2184 ako výraz \left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right).

$$\left(5x^{2}-105x\right)+\left(104x-2184\right)$$

5x na prvej skupine a 104 v druhá skupina.

$$5x\left(x-21\right)+104\left(x-21\right)$$

Vyberte spoločný člen x-21 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-21\right)\left(5x+104\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-21=0 a 5x+104=0.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 5 za a, -1 za b a -2184 za c.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-2184\right)}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -20 číslom -2184.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+43680}}{2\times 5}$$

Prirátajte 1 ku 43680.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{43681}}{2\times 5}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 43681.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±209}{2\times 5}$$

Opak čísla -1 je 1.

$$x=\frac{1±209}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 5.

$$x=\frac{1±209}{10}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{1±209}{10}, keď ± je plus. Prirátajte 1 ku 209.

$$x=\frac{210}{10}$$

Vydeľte číslo 210 číslom 10.

$$x=21$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{1±209}{10}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 209 od čísla 1.

$$x=-\frac{208}{10}$$

Vykráťte zlomok \frac{-208}{10} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=-\frac{104}{5}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-2184=0$$

Prirátajte 2184 ku obom stranám rovnice.

$$5x^{2}-x-2184-\left(-2184\right)=-\left(-2184\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -2184 od seba samého bude 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-2184\right)$$

Odčítajte číslo -2184 od čísla 0.

$$5x^{2}-x=2184$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{2184}{5}$$

Delenie číslom 5 ruší násobenie číslom 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{2184}{5}$$

Číslo -\frac{1}{5}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{1}{10}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{1}{10}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2184}{5}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{1}{10} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2184}{5}+\frac{1}{100}$$

Prirátajte \frac{2184}{5} ku \frac{1}{100} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{43681}{100}$$

Rozložte x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{43681}{100}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{43681}{100}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{209}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{209}{10}$$

Prirátajte \frac{1}{10} ku obom stranám rovnice.

$$x=21 x=-\frac{104}{5}$$