Vyriešiť 5x^2-48x+20=0

$$5 { x }^{ 2 } -48x+20=0$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{2 \sqrt{119} + 24}{5} \approx 9,163484846$$

$$x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}\approx 0,436515154$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$5x^{2}-48x+20=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 5 za a, -48 za b a 20 za c.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\times 5\times 20}}{2\times 5}$$

Umocnite číslo -48.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\times 5\times 20}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 5.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-20\times 20}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -20 číslom 20.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-400}}{2\times 5}$$

Prirátajte 2304 ku -400.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{1904}}{2\times 5}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 1904.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±4\sqrt{119}}{2\times 5}$$

Opak čísla -48 je 48.

$$x=\frac{48±4\sqrt{119}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 5.

$$x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10}, keď ± je plus. Prirátajte 48 ku 4\sqrt{119}.

$$x=\frac{4\sqrt{119}+48}{10}$$

Vydeľte číslo 48+4\sqrt{119} číslom 10.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{48±4\sqrt{119}}{10}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 4\sqrt{119} od čísla 48.

$$x=\frac{48-4\sqrt{119}}{10}$$

Vydeľte číslo 48-4\sqrt{119} číslom 10.

$$x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5} x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-48x+20=0$$

Odčítajte hodnotu 20 od oboch strán rovnice.

$$5x^{2}-48x+20-20=-20$$

Výsledkom odčítania čísla 20 od seba samého bude 0.

$$5x^{2}-48x=-20$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$\frac{5x^{2}-48x}{5}=-\frac{20}{5}$$

Delenie číslom 5 ruší násobenie číslom 5.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x=-\frac{20}{5}$$

Vydeľte číslo -20 číslom 5.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x=-4$$

Číslo -\frac{48}{5}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{24}{5}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{24}{5}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{24}{5}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{24}{5} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=-4+\frac{576}{25}$$

Prirátajte -4 ku \frac{576}{25}.

$$x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25}=\frac{476}{25}$$

Rozložte x^{2}-\frac{48}{5}x+\frac{576}{25} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}=\frac{476}{25}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{24}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{476}{25}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{24}{5}=\frac{2\sqrt{119}}{5} x-\frac{24}{5}=-\frac{2\sqrt{119}}{5}$$

Prirátajte \frac{24}{5} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{2\sqrt{119}+24}{5} x=\frac{24-2\sqrt{119}}{5}$$