Vyriešiť 5x^2-3x+1=0

$$5 { x }^{ 2 } -3x+1=0$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{11}i}{10}\approx 0,3+0,331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+3}{10}\approx 0,3-0,331662479i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$5x^{2}-3x+1=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 5 za a, -3 za b a 1 za c.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Umocnite číslo -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

Prirátajte 9 ku -20.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -11.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Opak čísla -3 je 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 5.

$$x=\frac{3±\sqrt{11}i}{10}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{3±\sqrt{11}i}{10}, keď ± je plus. Prirátajte 3 ku i\sqrt{11}.

$$x=\frac{3+\sqrt{11}i}{10}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{3±\sqrt{11}i}{10}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo i\sqrt{11} od čísla 3.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+3}{10}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i+3}{10}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-3x+1=0$$

Odčítajte hodnotu 1 od oboch strán rovnice.

$$5x^{2}-3x+1-1=-1$$

Výsledkom odčítania čísla 1 od seba samého bude 0.

$$5x^{2}-3x=-1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$\frac{5x^{2}-3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Delenie číslom 5 ruší násobenie číslom 5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Číslo -\frac{3}{5}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{3}{10}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{3}{10}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{3}{10} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

Prirátajte -\frac{1}{5} ku \frac{9}{100} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

Rozložte x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Prirátajte \frac{3}{10} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i+3}{10}$$