Vyriešiť 5x^2-2x+15=0

$$5 { x }^{ 2 } -2x+15=0$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5}\approx 0,2+1,720465053i$$

$$x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}\approx 0,2-1,720465053i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$5x^{2}-2x+15=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 5 za a, -2 za b a 15 za c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Umocnite číslo -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\times 15}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -20 číslom 15.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-300}}{2\times 5}$$

Prirátajte 4 ku -300.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-296}}{2\times 5}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -296.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{74}i}{2\times 5}$$

Opak čísla -2 je 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 5.

$$x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10}, keď ± je plus. Prirátajte 2 ku 2i\sqrt{74}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{74}i}{10}$$

Vydeľte číslo 2+2i\sqrt{74} číslom 10.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{2±2\sqrt{74}i}{10}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2i\sqrt{74} od čísla 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{74}i+2}{10}$$

Vydeľte číslo 2-2i\sqrt{74} číslom 10.

$$x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5} x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x+15=0$$

Odčítajte hodnotu 15 od oboch strán rovnice.

$$5x^{2}-2x+15-15=-15$$

Výsledkom odčítania čísla 15 od seba samého bude 0.

$$5x^{2}-2x=-15$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=-\frac{15}{5}$$

Delenie číslom 5 ruší násobenie číslom 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{15}{5}$$

Vydeľte číslo -15 číslom 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-3$$

Číslo -\frac{2}{5}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{1}{5}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{1}{5}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{1}{5} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-3+\frac{1}{25}$$

Prirátajte -3 ku \frac{1}{25}.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=-\frac{74}{25}$$

Rozložte x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{74}{25}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{74}{25}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{74}i}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{\sqrt{74}i}{5}$$

Prirátajte \frac{1}{5} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{1+\sqrt{74}i}{5} x=\frac{-\sqrt{74}i+1}{5}$$