Vyriešiť 5x^2-29x-42=0

$$5 { x }^{ 2 } -29x-42=0$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1,2$$

$$x=7$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 5x^{2}+ax+bx-42. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-29 ab=5\left(-42\right)=-210$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -29 súčtu.

$$a=-35 b=6$$

Zapíšte 5x^{2}-29x-42 ako výraz \left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(5x^{2}-35x\right)+\left(6x-42\right)$$

5x na prvej skupine a 6 v druhá skupina.

$$5x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Vyberte spoločný člen x-7 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-7\right)\left(5x+6\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-7=0 a 5x+6=0.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 5 za a, -29 za b a -42 za c.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Umocnite číslo -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 5\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 5.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-20\left(-42\right)}}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo -20 číslom -42.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841+840}}{2\times 5}$$

Prirátajte 841 ku 840.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{1681}}{2\times 5}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 1681.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±41}{2\times 5}$$

Opak čísla -29 je 29.

$$x=\frac{29±41}{2\times 5}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 5.

$$x=\frac{29±41}{10}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{29±41}{10}, keď ± je plus. Prirátajte 29 ku 41.

$$x=\frac{70}{10}$$

Vydeľte číslo 70 číslom 10.

$$x=7$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{29±41}{10}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 41 od čísla 29.

$$x=-\frac{12}{10}$$

Vykráťte zlomok \frac{-12}{10} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-29x-42=0$$

Prirátajte 42 ku obom stranám rovnice.

$$5x^{2}-29x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -42 od seba samého bude 0.

$$5x^{2}-29x=-\left(-42\right)$$

Odčítajte číslo -42 od čísla 0.

$$5x^{2}-29x=42$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$\frac{5x^{2}-29x}{5}=\frac{42}{5}$$

Delenie číslom 5 ruší násobenie číslom 5.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x=\frac{42}{5}$$

Číslo -\frac{29}{5}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{29}{10}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{29}{10}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{42}{5}+\left(-\frac{29}{10}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{29}{10} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{42}{5}+\frac{841}{100}$$

Prirátajte \frac{42}{5} ku \frac{841}{100} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}=\frac{1681}{100}$$

Rozložte x^{2}-\frac{29}{5}x+\frac{841}{100} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}=\frac{1681}{100}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{100}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{29}{10}=\frac{41}{10} x-\frac{29}{10}=-\frac{41}{10}$$

Prirátajte \frac{29}{10} ku obom stranám rovnice.

$$x=7 x=-\frac{6}{5}$$