Vyriešiť 4x-3x^2+15=0

$$4x-3 { x }^{ 2 } +15=0$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=3$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Zmeňte usporiadanie polynomickej rovnice do štandardného tvaru. Členy zoraďte od najväčšieho po najmenší.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare -3x^{2}+ax+bx+15. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=4 ab=-3\times 15=-45$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -45.

$$-1,45 -3,15 -5,9$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+45=44 -3+15=12 -5+9=4$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 4 súčtu.

$$a=9 b=-5$$

Zapíšte -3x^{2}+4x+15 ako výraz \left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-5x+15\right).

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-5x+15\right)$$

3x na prvej skupine a 5 v druhá skupina.

$$3x\left(-x+3\right)+5\left(-x+3\right)$$

Vyberte spoločný člen -x+3 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(-x+3\right)\left(3x+5\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte -x+3=0 a 3x+5=0.

$$x=3 x=-\frac{5}{3}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte -3 za a, 4 za b a 15 za c.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-3\right)\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

Umocnite číslo 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-3\right)\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo -4 číslom -3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12\times 15}}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo 12 číslom 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+180}}{2\left(-3\right)}$$

Prirátajte 16 ku 180.

$$x=\frac{-4±\sqrt{196}}{2\left(-3\right)}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 196.

$$x=\frac{-4±14}{2\left(-3\right)}$$

Vynásobte číslo 2 číslom -3.

$$x=\frac{-4±14}{-6}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-4±14}{-6}, keď ± je plus. Prirátajte -4 ku 14.

$$x=\frac{10}{-6}$$

Vykráťte zlomok \frac{10}{-6} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-4±14}{-6}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 14 od čísla -4.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Vydeľte číslo -18 číslom -6.

$$x=3$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=-\frac{5}{3} x=3$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+4x+15=0$$

Odčítajte hodnotu 15 od oboch strán rovnice.

$$-3x^{2}+4x+15-15=-15$$

Výsledkom odčítania čísla 15 od seba samého bude 0.

$$-3x^{2}+4x=-15$$

Vydeľte obe strany hodnotou -3.

$$\frac{-3x^{2}+4x}{-3}=-\frac{15}{-3}$$

Delenie číslom -3 ruší násobenie číslom -3.

$$x^{2}+\frac{4}{-3}x=-\frac{15}{-3}$$

Vydeľte číslo 4 číslom -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{15}{-3}$$

Vydeľte číslo -15 číslom -3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=5$$

Číslo -\frac{4}{3}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{2}{3}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{2}{3}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{2}{3} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Prirátajte 5 ku \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Rozložte x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Prirátajte \frac{2}{3} ku obom stranám rovnice.

$$x=3 x=-\frac{5}{3}$$