Vyriešiť 49x^2+30x+25=0

$$49 x ^ { 2 } + 30 x + 25 = 0$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}\approx -0,306122449+0,645362788i$$

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}\approx -0,306122449-0,645362788i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 49 za a, 30 za b a 25 za c.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Umocnite číslo 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 49\times 25}}{2\times 49}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 49.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-196\times 25}}{2\times 49}$$

Vynásobte číslo -196 číslom 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4900}}{2\times 49}$$

Prirátajte 900 ku -4900.

$$x=\frac{-30±\sqrt{-4000}}{2\times 49}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -4000.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{2\times 49}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 49.

$$x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}, keď ± je plus. Prirátajte -30 ku 20i\sqrt{10}.

$$x=\frac{-30+20\sqrt{10}i}{98}$$

Vydeľte číslo -30+20i\sqrt{10} číslom 98.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-30±20\sqrt{10}i}{98}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 20i\sqrt{10} od čísla -30.

$$x=\frac{-20\sqrt{10}i-30}{98}$$

Vydeľte číslo -30-20i\sqrt{10} číslom 98.

$$x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$49x^{2}+30x+25=0$$

Odčítajte hodnotu 25 od oboch strán rovnice.

$$49x^{2}+30x+25-25=-25$$

Výsledkom odčítania čísla 25 od seba samého bude 0.

$$49x^{2}+30x=-25$$

Vydeľte obe strany hodnotou 49.

$$\frac{49x^{2}+30x}{49}=-\frac{25}{49}$$

Delenie číslom 49 ruší násobenie číslom 49.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x=-\frac{25}{49}$$

Číslo \frac{30}{49}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{15}{49}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{15}{49}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{25}{49}+\left(\frac{15}{49}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{15}{49} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{25}{49}+\frac{225}{2401}$$

Prirátajte -\frac{25}{49} ku \frac{225}{2401} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401}=-\frac{1000}{2401}$$

Rozložte x^{2}+\frac{30}{49}x+\frac{225}{2401} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}=-\frac{1000}{2401}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1000}{2401}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{15}{49}=\frac{10\sqrt{10}i}{49} x+\frac{15}{49}=-\frac{10\sqrt{10}i}{49}$$

Odčítajte hodnotu \frac{15}{49} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{-15+10\sqrt{10}i}{49} x=\frac{-10\sqrt{10}i-15}{49}$$