Vyriešiť 49t^2-147t-196=0

$$49 t ^ { 2 } - 147 t - 196 = 0$$

Riešenie pre t

$$t=-1$$

$$t=4$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Vydeľte obe strany hodnotou 49.

$$t^{2}-3t-4=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare t^{2}+at+bt-4. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Keďže ab je záporná, a a b majú opačné znaky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -4.

$$1,-4 2,-2$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet -3.

$$a=-4 b=1$$

Zapíšte t^{2}-3t-4 ako výraz \left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right).

$$\left(t^{2}-4t\right)+\left(t-4\right)$$

Vyčleňte t z výrazu t^{2}-4t.

$$t\left(t-4\right)+t-4$$

Vyberte spoločný člen t-4 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(t-4\right)\left(t+1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte t-4=0 a t+1=0.

$$t=4 t=-1$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 49 za a, -147 za b a -196 za c.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{\left(-147\right)^{2}-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Umocnite číslo -147.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-4\times 49\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 49.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609-196\left(-196\right)}}{2\times 49}$$

Vynásobte číslo -196 číslom -196.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{21609+38416}}{2\times 49}$$

Prirátajte 21609 ku 38416.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±\sqrt{60025}}{2\times 49}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 60025.

$$t=\frac{-\left(-147\right)±245}{2\times 49}$$

Opak čísla -147 je 147.

$$t=\frac{147±245}{2\times 49}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 49.

$$t=\frac{147±245}{98}$$

Vyriešte rovnicu t=\frac{147±245}{98}, keď ± je plus. Prirátajte 147 ku 245.

$$t=\frac{392}{98}$$

Vydeľte číslo 392 číslom 98.

$$t=4$$

Vyriešte rovnicu t=\frac{147±245}{98}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 245 od čísla 147.

$$t=-\frac{98}{98}$$

Vydeľte číslo -98 číslom 98.

$$t=-1$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$t=4 t=-1$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$49t^{2}-147t-196=0$$

Prirátajte 196 ku obom stranám rovnice.

$$49t^{2}-147t-196-\left(-196\right)=-\left(-196\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -196 od seba samého bude 0.

$$49t^{2}-147t=-\left(-196\right)$$

Odčítajte číslo -196 od čísla 0.

$$49t^{2}-147t=196$$

Vydeľte obe strany hodnotou 49.

$$\frac{49t^{2}-147t}{49}=\frac{196}{49}$$

Delenie číslom 49 ruší násobenie číslom 49.

$$t^{2}+\left(-\frac{147}{49}\right)t=\frac{196}{49}$$

Vydeľte číslo -147 číslom 49.

$$t^{2}-3t=\frac{196}{49}$$

Vydeľte číslo 196 číslom 49.

$$t^{2}-3t=4$$

Číslo -3, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{3}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{3}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{3}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Prirátajte 4 ku \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Rozložte výraz t^{2}-3t+\frac{9}{4} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Zjednodušte.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Prirátajte \frac{3}{2} ku obom stranám rovnice.

$$t=4 t=-1$$