Vyriešiť 45x^2-39x-18=0

$$45 x ^ { 2 } - 39 x - 18 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1,2$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$15x^{2}-13x-6=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 15x^{2}+ax+bx-6. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-13 ab=15\left(-6\right)=-90$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -13 súčtu.

$$a=-18 b=5$$

Zapíšte 15x^{2}-13x-6 ako výraz \left(15x^{2}-18x\right)+\left(5x-6\right).

$$\left(15x^{2}-18x\right)+\left(5x-6\right)$$

Vyčleňte 3x z výrazu 15x^{2}-18x.

$$3x\left(5x-6\right)+5x-6$$

Vyberte spoločný člen 5x-6 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(5x-6\right)\left(3x+1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 5x-6=0 a 3x+1=0.

$$x=\frac{6}{5} x=-\frac{1}{3}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$45x^{2}-39x-18=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 45 za a, -39 za b a -18 za c.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{\left(-39\right)^{2}-4\times 45\left(-18\right)}}{2\times 45}$$

Umocnite číslo -39.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{1521-4\times 45\left(-18\right)}}{2\times 45}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 45.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{1521-180\left(-18\right)}}{2\times 45}$$

Vynásobte číslo -180 číslom -18.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{1521+3240}}{2\times 45}$$

Prirátajte 1521 ku 3240.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{4761}}{2\times 45}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 4761.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±69}{2\times 45}$$

Opak čísla -39 je 39.

$$x=\frac{39±69}{2\times 45}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 45.

$$x=\frac{39±69}{90}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{39±69}{90}, keď ± je plus. Prirátajte 39 ku 69.

$$x=\frac{108}{90}$$

Vykráťte zlomok \frac{108}{90} na základný tvar extrakciou a elimináciou 18.

$$x=\frac{6}{5}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{39±69}{90}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 69 od čísla 39.

$$x=-\frac{30}{90}$$

Vykráťte zlomok \frac{-30}{90} na základný tvar extrakciou a elimináciou 30.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{6}{5} x=-\frac{1}{3}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$45x^{2}-39x-18=0$$

Prirátajte 18 ku obom stranám rovnice.

$$45x^{2}-39x-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -18 od seba samého bude 0.

$$45x^{2}-39x=-\left(-18\right)$$

Odčítajte číslo -18 od čísla 0.

$$45x^{2}-39x=18$$

Vydeľte obe strany hodnotou 45.

$$\frac{45x^{2}-39x}{45}=\frac{18}{45}$$

Delenie číslom 45 ruší násobenie číslom 45.

$$x^{2}+\left(-\frac{39}{45}\right)x=\frac{18}{45}$$

Vykráťte zlomok \frac{-39}{45} na základný tvar extrakciou a elimináciou 3.

$$x^{2}-\frac{13}{15}x=\frac{18}{45}$$

Vykráťte zlomok \frac{18}{45} na základný tvar extrakciou a elimináciou 9.

$$x^{2}-\frac{13}{15}x=\frac{2}{5}$$

Číslo -\frac{13}{15}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{13}{30}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{13}{30}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{13}{15}x+\left(-\frac{13}{30}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\left(-\frac{13}{30}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{13}{30} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{13}{15}x+\frac{169}{900}=\frac{2}{5}+\frac{169}{900}$$

Prirátajte \frac{2}{5} ku \frac{169}{900} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{13}{15}x+\frac{169}{900}=\frac{529}{900}$$

Rozložte x^{2}-\frac{13}{15}x+\frac{169}{900} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{30}\right)^{2}=\frac{529}{900}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{900}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{13}{30}=\frac{23}{30} x-\frac{13}{30}=-\frac{23}{30}$$

Prirátajte \frac{13}{30} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{6}{5} x=-\frac{1}{3}$$