Vyriešiť 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 42x^{2}+ax+bx-3. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -5 súčtu.

$$a=-14 b=9$$

Zapíšte 42x^{2}-5x-3 ako výraz \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

14x na prvej skupine a 3 v druhá skupina.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Vyberte spoločný člen 3x-1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 3x-1=0 a 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 42 za a, -5 za b a -3 za c.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Umocnite číslo -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Vynásobte číslo -168 číslom -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Prirátajte 25 ku 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

Opak čísla -5 je 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{5±23}{84}, keď ± je plus. Prirátajte 5 ku 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Vykráťte zlomok \frac{28}{84} na základný tvar extrakciou a elimináciou 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{5±23}{84}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 23 od čísla 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Vykráťte zlomok \frac{-18}{84} na základný tvar extrakciou a elimináciou 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Prirátajte 3 ku obom stranám rovnice.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -3 od seba samého bude 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Odčítajte číslo -3 od čísla 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Vydeľte obe strany hodnotou 42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Delenie číslom 42 ruší násobenie číslom 42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Vykráťte zlomok \frac{3}{42} na základný tvar extrakciou a elimináciou 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Číslo -\frac{5}{42}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{5}{84}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{5}{84}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{5}{84} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Prirátajte \frac{1}{14} ku \frac{25}{7056} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Rozložte x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Prirátajte \frac{5}{84} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$