Vyriešiť 40x^2-14x+1=0

$$40 { x }^{ 2 } -14x+1=0$$

Riešenie pre x

$$x=\frac{1}{10}=0,1$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 40x^{2}+ax+bx+1. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-14 ab=40\times 1=40$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -14 súčtu.

$$a=-10 b=-4$$

Zapíšte 40x^{2}-14x+1 ako výraz \left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(40x^{2}-10x\right)+\left(-4x+1\right)$$

10x na prvej skupine a -1 v druhá skupina.

$$10x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Vyberte spoločný člen 4x-1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(4x-1\right)\left(10x-1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 4x-1=0 a 10x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 40 za a, -14 za b a 1 za c.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2\times 40}$$

Umocnite číslo -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2\times 40}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2\times 40}$$

Prirátajte 196 ku -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2\times 40}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 36.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2\times 40}$$

Opak čísla -14 je 14.

$$x=\frac{14±6}{2\times 40}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 40.

$$x=\frac{14±6}{80}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{14±6}{80}, keď ± je plus. Prirátajte 14 ku 6.

$$x=\frac{20}{80}$$

Vykráťte zlomok \frac{20}{80} na základný tvar extrakciou a elimináciou 20.

$$x=\frac{1}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{14±6}{80}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 6 od čísla 14.

$$x=\frac{8}{80}$$

Vykráťte zlomok \frac{8}{80} na základný tvar extrakciou a elimináciou 8.

$$x=\frac{1}{10}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$40x^{2}-14x+1=0$$

Odčítajte hodnotu 1 od oboch strán rovnice.

$$40x^{2}-14x+1-1=-1$$

Výsledkom odčítania čísla 1 od seba samého bude 0.

$$40x^{2}-14x=-1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 40.

$$\frac{40x^{2}-14x}{40}=-\frac{1}{40}$$

Delenie číslom 40 ruší násobenie číslom 40.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{40}\right)x=-\frac{1}{40}$$

Vykráťte zlomok \frac{-14}{40} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x=-\frac{1}{40}$$

Číslo -\frac{7}{20}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{7}{40}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{7}{40}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{40}+\left(-\frac{7}{40}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{7}{40} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=-\frac{1}{40}+\frac{49}{1600}$$

Prirátajte -\frac{1}{40} ku \frac{49}{1600} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600}=\frac{9}{1600}$$

Rozložte x^{2}-\frac{7}{20}x+\frac{49}{1600} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}=\frac{9}{1600}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{1600}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{7}{40}=\frac{3}{40} x-\frac{7}{40}=-\frac{3}{40}$$

Prirátajte \frac{7}{40} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{1}{4} x=\frac{1}{10}$$