Vyriešiť 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Riešenie pre x,y

$$x=2$$

$$y=3$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$4x-y=5$$

Prirátajte y ku obom stranám rovnice.

$$4x=y+5$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{4} číslom y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Dosaďte \frac{5+y}{4} za x v druhej rovnici -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Vynásobte číslo -4 číslom \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Prirátajte -y ku 5y.

$$4y-5=7$$

Prirátajte 5 ku obom stranám rovnice.

$$4y=12$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$y=3$$

V rovnici x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4} dosaďte y za premennú 3. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Vynásobte číslo \frac{1}{4} číslom 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Prirátajte \frac{5}{4} ku \frac{3}{4} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=2$$

Systém je vyriešený.

$$x=2,y=3$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=2,y=3$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Ak chcete, aby boli členy 4x a -4x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom -4 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Zjednodušte.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Odčítajte rovnicu -16x+20y=28 od rovnice -16x+4y=-20 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Prirátajte -16x ku 16x. Členy -16x a 16x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$4y-20y=-20-28$$

Prirátajte 4y ku -20y.

$$-16y=-20-28$$

Prirátajte -20 ku -28.

$$-16y=-48$$

Vydeľte obe strany hodnotou -16.

$$y=3$$

V rovnici -4x+5y=7 dosaďte y za premennú 3. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$-4x+5\times 3=7$$

Vynásobte číslo 5 číslom 3.

$$-4x+15=7$$

Odčítajte hodnotu 15 od oboch strán rovnice.

$$-4x=-8$$

Vydeľte obe strany hodnotou -4.

$$x=2$$

Systém je vyriešený.

$$x=2,y=3$$