Vyriešiť 4x-5y=2text{and}x+10y=41

$$4 x - 5 y = 2 \text { and } x + 10 y = 41$$

Riešenie pre x,y

$$x=5$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3,6$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$4x-5y=2$$

Prirátajte 5y ku obom stranám rovnice.

$$4x=5y+2$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+2\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{4} číslom 5y+2.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

Dosaďte \frac{5y}{4}+\frac{1}{2} za x v druhej rovnici x+10y=41.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}+10y=41$$

Prirátajte \frac{5y}{4} ku 10y.

$$\frac{45}{4}y+\frac{1}{2}=41$$

Odčítajte hodnotu \frac{1}{2} od oboch strán rovnice.

$$\frac{45}{4}y=\frac{81}{2}$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou \frac{45}{4}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$y=\frac{18}{5}$$

V rovnici x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2} dosaďte y za premennú \frac{18}{5}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=\frac{5}{4}\times \frac{18}{5}+\frac{1}{2}$$

Vynásobte zlomok \frac{5}{4} zlomkom \frac{18}{5} tak, že vynásobíte čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom. Ak je to možné, zlomok potom čo najviac vykráťte.

$$x=\frac{9+1}{2}$$

Prirátajte \frac{1}{2} ku \frac{9}{2} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=5$$

Systém je vyriešený.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4\times 10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4\times 10-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{45}&\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 41\\-\frac{1}{45}\times 2+\frac{4}{45}\times 41\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Ak chcete, aby boli členy 4x a x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 1 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 4.

$$4x-5y=2,4x+4\times 10y=4\times 41$$

Zjednodušte.

$$4x-5y=2,4x+40y=164$$

Odčítajte rovnicu 4x+40y=164 od rovnice 4x-5y=2 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$4x-4x-5y-40y=2-164$$

Prirátajte 4x ku -4x. Členy 4x a -4x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-5y-40y=2-164$$

Prirátajte -5y ku -40y.

$$-45y=2-164$$

Prirátajte 2 ku -164.

$$-45y=-162$$

Vydeľte obe strany hodnotou -45.

$$y=\frac{18}{5}$$

V rovnici x+10y=41 dosaďte y za premennú \frac{18}{5}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x+10\times \frac{18}{5}=41$$

Vynásobte číslo 10 číslom \frac{18}{5}.

$$x+36=41$$

Odčítajte hodnotu 36 od oboch strán rovnice.

$$x=5$$

Systém je vyriešený.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$