Vyriešiť 4x-3y=2text{and}x+5y=-11

$$4 x - 3 y = 2 \text { and } x + 5 y = - 11$$

Riešenie pre x,y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$4x-3y=2$$

Prirátajte 3y ku obom stranám rovnice.

$$4x=3y+2$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{4} číslom 3y+2.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Dosaďte \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} za x v druhej rovnici x+5y=-11.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}+5y=-11$$

Prirátajte \frac{3y}{4} ku 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{1}{2}=-11$$

Odčítajte hodnotu \frac{1}{2} od oboch strán rovnice.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou \frac{23}{4}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$y=-2$$

V rovnici x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2} dosaďte y za premennú -2. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Vynásobte číslo \frac{3}{4} číslom -2.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Prirátajte \frac{1}{2} ku -\frac{3}{2} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=-1$$

Systém je vyriešený.

$$x=-1,y=-2$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 2+\frac{3}{23}\left(-11\right)\\-\frac{1}{23}\times 2+\frac{4}{23}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=-1,y=-2$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Ak chcete, aby boli členy 4x a x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 1 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 4.

$$4x-3y=2,4x+4\times 5y=4\left(-11\right)$$

Zjednodušte.

$$4x-3y=2,4x+20y=-44$$

Odčítajte rovnicu 4x+20y=-44 od rovnice 4x-3y=2 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$4x-4x-3y-20y=2+44$$

Prirátajte 4x ku -4x. Členy 4x a -4x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-3y-20y=2+44$$

Prirátajte -3y ku -20y.

$$-23y=2+44$$

Prirátajte 2 ku 44.

$$-23y=46$$

Vydeľte obe strany hodnotou -23.

$$y=-2$$

V rovnici x+5y=-11 dosaďte y za premennú -2. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x+5\left(-2\right)=-11$$

Vynásobte číslo 5 číslom -2.

$$x-10=-11$$

Prirátajte 10 ku obom stranám rovnice.

$$x=-1$$

Systém je vyriešený.

$$x=-1,y=-2$$