Vyriešiť 4x-2y=28text{and}x=y+5

$$4 x - 2 y = 28 \text { and } x = y + 5$$

Riešenie pre x,y

$$x=9$$

$$y=4$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte y z oboch strán.

$$x-y=5$$

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$4x-2y=28,x-y=5$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$4x-2y=28$$

Prirátajte 2y ku obom stranám rovnice.

$$4x=2y+28$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+28\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{4} číslom 28+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+7$$

Dosaďte \frac{y}{2}+7 za x v druhej rovnici x-y=5.

$$\frac{1}{2}y+7-y=5$$

Prirátajte \frac{y}{2} ku -y.

$$-\frac{1}{2}y+7=5$$

Odčítajte hodnotu 7 od oboch strán rovnice.

$$-\frac{1}{2}y=-2$$

Vynásobte obe strany hodnotou -2.

$$y=4$$

V rovnici x=\frac{1}{2}y+7 dosaďte y za premennú 4. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=\frac{1}{2}\times 4+7$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslom 4.

$$x=2+7$$

Prirátajte 7 ku 2.

$$x=9$$

Systém je vyriešený.

$$x=9,y=4$$

Postup použitia matíc

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte y z oboch strán.

$$x-y=5$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$4x-2y=28,x-y=5$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\\frac{1}{2}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\5\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 28-5\\\frac{1}{2}\times 28-2\times 5\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=9,y=4$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte y z oboch strán.

$$x-y=5$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$4x-2y=28,x-y=5$$

Ak chcete, aby boli členy 4x a x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 1 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 4.

$$4x-2y=28,4x+4\left(-1\right)y=4\times 5$$

Zjednodušte.

$$4x-2y=28,4x-4y=20$$

Odčítajte rovnicu 4x-4y=20 od rovnice 4x-2y=28 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$4x-4x-2y+4y=28-20$$

Prirátajte 4x ku -4x. Členy 4x a -4x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-2y+4y=28-20$$

Prirátajte -2y ku 4y.

$$2y=28-20$$

Prirátajte 28 ku -20.

$$2y=8$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$y=4$$

V rovnici x-y=5 dosaďte y za premennú 4. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x-4=5$$

Prirátajte 4 ku obom stranám rovnice.

$$x=9$$

Systém je vyriešený.

$$x=9,y=4$$