Vyriešiť 4x^2-7x+3=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x + 3 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=1$$

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 4x^{2}+ax+bx+3. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-7 ab=4\times 3=12$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -7 súčtu.

$$a=-4 b=-3$$

Zapíšte 4x^{2}-7x+3 ako výraz \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-3x+3\right)$$

4x na prvej skupine a -3 v druhá skupina.

$$4x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)$$

Vyberte spoločný člen x-1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-1\right)\left(4x-3\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-1=0 a 4x-3=0.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, -7 za b a 3 za c.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\times 3}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslom 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 4}$$

Prirátajte 49 ku -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 4}$$

Opak čísla -7 je 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$x=\frac{7±1}{8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{7±1}{8}, keď ± je plus. Prirátajte 7 ku 1.

$$x=\frac{8}{8}$$

Vydeľte číslo 8 číslom 8.

$$x=1$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{7±1}{8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 1 od čísla 7.

$$x=\frac{6}{8}$$

Vykráťte zlomok \frac{6}{8} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=\frac{3}{4}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x+3=0$$

Odčítajte hodnotu 3 od oboch strán rovnice.

$$4x^{2}-7x+3-3=-3$$

Výsledkom odčítania čísla 3 od seba samého bude 0.

$$4x^{2}-7x=-3$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=-\frac{3}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=-\frac{3}{4}$$

Číslo -\frac{7}{4}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{7}{8}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{7}{8}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{7}{8} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{3}{4}+\frac{49}{64}$$

Prirátajte -\frac{3}{4} ku \frac{49}{64} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{64}$$

Rozložte x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{64}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{1}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{1}{8}$$

Prirátajte \frac{7}{8} ku obom stranám rovnice.

$$x=1 x=\frac{3}{4}$$