Vyriešiť 4x^2-5x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=1$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 4x^{2}+ax+bx+1. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-5 ab=4\times 1=4$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -5 súčtu.

$$a=-4 b=-1$$

Zapíšte 4x^{2}-5x+1 ako výraz \left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(-x+1\right)$$

4x na prvej skupine a -1 v druhá skupina.

$$4x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Vyberte spoločný člen x-1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-1\right)\left(4x-1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-1=0 a 4x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, -5 za b a 1 za c.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16}}{2\times 4}$$

Prirátajte 25 ku -16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{9}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3}{2\times 4}$$

Opak čísla -5 je 5.

$$x=\frac{5±3}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$x=\frac{5±3}{8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{5±3}{8}, keď ± je plus. Prirátajte 5 ku 3.

$$x=\frac{8}{8}$$

Vydeľte číslo 8 číslom 8.

$$x=1$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{5±3}{8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 3 od čísla 5.

$$x=\frac{2}{8}$$

Vykráťte zlomok \frac{2}{8} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+1=0$$

Odčítajte hodnotu 1 od oboch strán rovnice.

$$4x^{2}-5x+1-1=-1$$

Výsledkom odčítania čísla 1 od seba samého bude 0.

$$4x^{2}-5x=-1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Číslo -\frac{5}{4}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{5}{8}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{5}{8}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{5}{8} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Prirátajte -\frac{1}{4} ku \frac{25}{64} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{9}{64}$$

Rozložte x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3}{8}$$

Prirátajte \frac{5}{8} ku obom stranám rovnice.

$$x=1 x=\frac{1}{4}$$