Vyriešiť 4x^2-4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 4x^{2}+ax+bx+1. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je záporná, a a b sú záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -4 súčtu.

$$a=-2 b=-2$$

Zapíšte 4x^{2}-4x+1 ako výraz \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

2x na prvej skupine a -1 v druhá skupina.

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Vyberte spoločný člen 2x-1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

Prepíšte rovnicu ako druhú mocninu dvojčlena.

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

Ak chcete nájsť riešenie rovnice, vyriešte 2x-1=0.

$$x=\frac{1}{2}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, -4 za b a 1 za c.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Prirátajte 16 ku -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 0.

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

Opak čísla -4 je 4.

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$x=\frac{4}{8}$$

Vykráťte zlomok \frac{4}{8} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Odčítajte hodnotu 1 od oboch strán rovnice.

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

Výsledkom odčítania čísla 1 od seba samého bude 0.

$$4x^{2}-4x=-1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

Vydeľte číslo -4 číslom 4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

Číslo -1, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{1}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{1}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{1}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Prirátajte -\frac{1}{4} ku \frac{1}{4} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

Rozložte x^{2}-x+\frac{1}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

Prirátajte \frac{1}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená. Riešenia sú rovnaké.

$$x=\frac{1}{2}$$