Vyriešiť 4x^2-2x+9=0

$$4 x ^ { 2 } - 2 x + 9 = 0$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4}\approx 0,25+1,479019946i$$

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}\approx 0,25-1,479019946i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4x^{2}-2x+9=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, -2 za b a 9 za c.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\times 9}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslom 9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-144}}{2\times 4}$$

Prirátajte 4 ku -144.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-140}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -140.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{35}i}{2\times 4}$$

Opak čísla -2 je 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8}, keď ± je plus. Prirátajte 2 ku 2i\sqrt{35}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{35}i}{8}$$

Vydeľte číslo 2+2i\sqrt{35} číslom 8.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{2±2\sqrt{35}i}{8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2i\sqrt{35} od čísla 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{35}i+2}{8}$$

Vydeľte číslo 2-2i\sqrt{35} číslom 8.

$$x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-2x+9=0$$

Odčítajte hodnotu 9 od oboch strán rovnice.

$$4x^{2}-2x+9-9=-9$$

Výsledkom odčítania čísla 9 od seba samého bude 0.

$$4x^{2}-2x=-9$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=-\frac{9}{4}$$

Vykráťte zlomok \frac{-2}{4} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{9}{4}$$

Číslo -\frac{1}{2}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{1}{4}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{1}{4}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{1}{4} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{9}{4}+\frac{1}{16}$$

Prirátajte -\frac{9}{4} ku \frac{1}{16} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{35}{16}$$

Rozložte x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{35}{16}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{35}{16}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{35}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{35}i}{4}$$

Prirátajte \frac{1}{4} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{1+\sqrt{35}i}{4} x=\frac{-\sqrt{35}i+1}{4}$$