Vyriešiť 4x^2-18x+5=0

$$4 x ^ { 2 } - 18 x + 5 = 0$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{\sqrt{61} + 9}{4} \approx 4,202562419$$

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}\approx 0,297437581$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, -18 za b a 5 za c.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo -18.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-16\times 5}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslom 5.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-80}}{2\times 4}$$

Prirátajte 324 ku -80.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{244}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 244.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

Opak čísla -18 je 18.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8}, keď ± je plus. Prirátajte 18 ku 2\sqrt{61}.

$$x=\frac{2\sqrt{61}+18}{8}$$

Vydeľte číslo 18+2\sqrt{61} číslom 8.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{18±2\sqrt{61}}{8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2\sqrt{61} od čísla 18.

$$x=\frac{18-2\sqrt{61}}{8}$$

Vydeľte číslo 18-2\sqrt{61} číslom 8.

$$x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-18x+5=0$$

Odčítajte hodnotu 5 od oboch strán rovnice.

$$4x^{2}-18x+5-5=-5$$

Výsledkom odčítania čísla 5 od seba samého bude 0.

$$4x^{2}-18x=-5$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}-18x}{4}=-\frac{5}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{4}\right)x=-\frac{5}{4}$$

Vykráťte zlomok \frac{-18}{4} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=-\frac{5}{4}$$

Číslo -\frac{9}{2}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{9}{4}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{9}{4}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{9}{4} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=-\frac{5}{4}+\frac{81}{16}$$

Prirátajte -\frac{5}{4} ku \frac{81}{16} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{61}{16}$$

Rozložte x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{61}{16}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{16}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{61}}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{61}}{4}$$

Prirátajte \frac{9}{4} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{61}+9}{4} x=\frac{9-\sqrt{61}}{4}$$