Vyriešiť 4x^2-14x+13=0

$$4 x ^ { 2 } - 14 x + 13 = 0$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4}\approx 1,75+0,433012702i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}\approx 1,75-0,433012702i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4x^{2}-14x+13=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, -14 za b a 13 za c.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\times 13}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\times 13}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\times 13}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslom 13.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-208}}{2\times 4}$$

Prirátajte 196 ku -208.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-12}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -12.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

Opak čísla -14 je 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8}, keď ± je plus. Prirátajte 14 ku 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{14+2\sqrt{3}i}{8}$$

Vydeľte číslo 14+2i\sqrt{3} číslom 8.

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{14±2\sqrt{3}i}{8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2i\sqrt{3} od čísla 14.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i+14}{8}$$

Vydeľte číslo 14-2i\sqrt{3} číslom 8.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4} x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-14x+13=0$$

Odčítajte hodnotu 13 od oboch strán rovnice.

$$4x^{2}-14x+13-13=-13$$

Výsledkom odčítania čísla 13 od seba samého bude 0.

$$4x^{2}-14x=-13$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=-\frac{13}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=-\frac{13}{4}$$

Vykráťte zlomok \frac{-14}{4} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{13}{4}$$

Číslo -\frac{7}{2}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{7}{4}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{7}{4}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{13}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{7}{4} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{13}{4}+\frac{49}{16}$$

Prirátajte -\frac{13}{4} ku \frac{49}{16} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{3}{16}$$

Rozložte x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{16}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{16}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{3}i}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{3}i}{4}$$

Prirátajte \frac{7}{4} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{7+\sqrt{3}i}{4} x=\frac{-\sqrt{3}i+7}{4}$$