Vyriešiť 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 4x^{2}+ax+bx-27. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -12 súčtu.

$$a=-18 b=6$$

Zapíšte 4x^{2}-12x-27 ako výraz \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

2x na prvej skupine a 3 v druhá skupina.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Vyberte spoločný člen 2x-9 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 2x-9=0 a 2x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, -12 za b a -27 za c.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslom -27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Prirátajte 144 ku 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

Opak čísla -12 je 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{12±24}{8}, keď ± je plus. Prirátajte 12 ku 24.

$$x=\frac{36}{8}$$

Vykráťte zlomok \frac{36}{8} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=\frac{9}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{12±24}{8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 24 od čísla 12.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Vykráťte zlomok \frac{-12}{8} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Prirátajte 27 ku obom stranám rovnice.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -27 od seba samého bude 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

Odčítajte číslo -27 od čísla 0.

$$4x^{2}-12x=27$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

Vydeľte číslo -12 číslom 4.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

Číslo -3, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{3}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{3}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{3}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Prirátajte \frac{27}{4} ku \frac{9}{4} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

Rozložte x^{2}-3x+\frac{9}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

Prirátajte \frac{3}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$