Vyriešiť 4x^2-12x-11=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 11 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=\sqrt{5}+\frac{3}{2}\approx 3,736067977$$

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{5}\approx -0,736067977$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4x^{2}-12x-11=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, -12 za b a -11 za c.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslom -11.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+176}}{2\times 4}$$

Prirátajte 144 ku 176.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{320}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 320.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±8\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Opak čísla -12 je 12.

$$x=\frac{12±8\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$x=\frac{12±8\sqrt{5}}{8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{12±8\sqrt{5}}{8}, keď ± je plus. Prirátajte 12 ku 8\sqrt{5}.

$$x=\frac{8\sqrt{5}+12}{8}$$

Vydeľte číslo 12+8\sqrt{5} číslom 8.

$$x=\sqrt{5}+\frac{3}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{12±8\sqrt{5}}{8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 8\sqrt{5} od čísla 12.

$$x=\frac{12-8\sqrt{5}}{8}$$

Vydeľte číslo 12-8\sqrt{5} číslom 8.

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{5}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\sqrt{5}+\frac{3}{2} x=\frac{3}{2}-\sqrt{5}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-11=0$$

Prirátajte 11 ku obom stranám rovnice.

$$4x^{2}-12x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -11 od seba samého bude 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-11\right)$$

Odčítajte číslo -11 od čísla 0.

$$4x^{2}-12x=11$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{11}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{11}{4}$$

Vydeľte číslo -12 číslom 4.

$$x^{2}-3x=\frac{11}{4}$$

Číslo -3, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{3}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{3}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{3}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{11+9}{4}$$

Prirátajte \frac{11}{4} ku \frac{9}{4} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=5$$

Rozložte x^{2}-3x+\frac{9}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=5$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{3}{2}=\sqrt{5} x-\frac{3}{2}=-\sqrt{5}$$

Prirátajte \frac{3}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=\sqrt{5}+\frac{3}{2} x=\frac{3}{2}-\sqrt{5}$$