Vyriešiť 4x^2-11x+30=16

$$4 x ^ { 2 } - 11 x + 30 = 16$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}\approx 1,375+1,268611446i$$

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}\approx 1,375-1,268611446i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Odčítajte hodnotu 16 od oboch strán rovnice.

$$4x^{2}-11x+30-16=16-16$$

Výsledkom odčítania čísla 16 od seba samého bude 0.

$$4x^{2}-11x+30-16=0$$

Odčítajte číslo 16 od čísla 30.

$$4x^{2}-11x+14=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, -11 za b a 14 za c.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-16\times 14}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslom 14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-224}}{2\times 4}$$

Prirátajte 121 ku -224.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{-103}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -103.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Opak čísla -11 je 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}, keď ± je plus. Prirátajte 11 ku i\sqrt{103}.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{11±\sqrt{103}i}{8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo i\sqrt{103} od čísla 11.

$$x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-11x+30=16$$

Odčítajte hodnotu 30 od oboch strán rovnice.

$$4x^{2}-11x+30-30=16-30$$

Výsledkom odčítania čísla 30 od seba samého bude 0.

$$4x^{2}-11x=16-30$$

Odčítajte číslo 30 od čísla 16.

$$4x^{2}-11x=-14$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}-11x}{4}=-\frac{14}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{14}{4}$$

Vykráťte zlomok \frac{-14}{4} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x=-\frac{7}{2}$$

Číslo -\frac{11}{4}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{11}{8}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{11}{8}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(-\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{11}{8} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{7}{2}+\frac{121}{64}$$

Prirátajte -\frac{7}{2} ku \frac{121}{64} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=-\frac{103}{64}$$

Rozložte x^{2}-\frac{11}{4}x+\frac{121}{64} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}=-\frac{103}{64}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{103}{64}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{11}{8}=\frac{\sqrt{103}i}{8} x-\frac{11}{8}=-\frac{\sqrt{103}i}{8}$$

Prirátajte \frac{11}{8} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{11+\sqrt{103}i}{8} x=\frac{-\sqrt{103}i+11}{8}$$