Vyriešiť 4x^2+x+3=498

$$4 x ^ { 2 } + x + 3 = 498$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{45}{4} = -11\frac{1}{4} = -11,25$$

$$x=11$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Odčítajte 498 z oboch strán.

$$4x^{2}+x+3-498=0$$

Odčítajte 498 z 3 a dostanete -495.

$$4x^{2}+x-495=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 4x^{2}+ax+bx-495. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=1 ab=4\left(-495\right)=-1980$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -1980.

$$-1,1980 -2,990 -3,660 -4,495 -5,396 -6,330 -9,220 -10,198 -11,180 -12,165 -15,132 -18,110 -20,99 -22,90 -30,66 -33,60 -36,55 -44,45$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+1980=1979 -2+990=988 -3+660=657 -4+495=491 -5+396=391 -6+330=324 -9+220=211 -10+198=188 -11+180=169 -12+165=153 -15+132=117 -18+110=92 -20+99=79 -22+90=68 -30+66=36 -33+60=27 -36+55=19 -44+45=1$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 1 súčtu.

$$a=-44 b=45$$

Zapíšte 4x^{2}+x-495 ako výraz \left(4x^{2}-44x\right)+\left(45x-495\right).

$$\left(4x^{2}-44x\right)+\left(45x-495\right)$$

4x na prvej skupine a 45 v druhá skupina.

$$4x\left(x-11\right)+45\left(x-11\right)$$

Vyberte spoločný člen x-11 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-11\right)\left(4x+45\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-11=0 a 4x+45=0.

$$x=11 x=-\frac{45}{4}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4x^{2}+x+3=498$$

Odčítajte hodnotu 498 od oboch strán rovnice.

$$4x^{2}+x+3-498=498-498$$

Výsledkom odčítania čísla 498 od seba samého bude 0.

$$4x^{2}+x+3-498=0$$

Odčítajte číslo 498 od čísla 3.

$$4x^{2}+x-495=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, 1 za b a -495 za c.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 4\left(-495\right)}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 4\left(-495\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-16\left(-495\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslom -495.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+7920}}{2\times 4}$$

Prirátajte 1 ku 7920.

$$x=\frac{-1±\sqrt{7921}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 7921.

$$x=\frac{-1±89}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$x=\frac{-1±89}{8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-1±89}{8}, keď ± je plus. Prirátajte -1 ku 89.

$$x=\frac{88}{8}$$

Vydeľte číslo 88 číslom 8.

$$x=11$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-1±89}{8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 89 od čísla -1.

$$x=-\frac{90}{8}$$

Vykráťte zlomok \frac{-90}{8} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=-\frac{45}{4}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=11 x=-\frac{45}{4}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+x+3=498$$

Odčítajte hodnotu 3 od oboch strán rovnice.

$$4x^{2}+x+3-3=498-3$$

Výsledkom odčítania čísla 3 od seba samého bude 0.

$$4x^{2}+x=498-3$$

Odčítajte číslo 3 od čísla 498.

$$4x^{2}+x=495$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}+x}{4}=\frac{495}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{495}{4}$$

Číslo \frac{1}{4}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{1}{8}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{1}{8}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{495}{4}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{1}{8} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{495}{4}+\frac{1}{64}$$

Prirátajte \frac{495}{4} ku \frac{1}{64} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{7921}{64}$$

Rozložte x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{7921}{64}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{64}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{89}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{89}{8}$$

Odčítajte hodnotu \frac{1}{8} od oboch strán rovnice.

$$x=11 x=-\frac{45}{4}$$