Vyriešiť 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 4x^{2}+ax+bx-81. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -324.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 48 súčtu.

$$a=-6 b=54$$

Zapíšte 4x^{2}+48x-81 ako výraz \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

2x na prvej skupine a 27 v druhá skupina.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Vyberte spoločný člen 2x-3 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 2x-3=0 a 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, 48 za b a -81 za c.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslom -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Prirátajte 2304 ku 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 3600.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-48±60}{8}, keď ± je plus. Prirátajte -48 ku 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

Vykráťte zlomok \frac{12}{8} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-48±60}{8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 60 od čísla -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

Vykráťte zlomok \frac{-108}{8} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=-\frac{27}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Prirátajte 81 ku obom stranám rovnice.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -81 od seba samého bude 0.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

Odčítajte číslo -81 od čísla 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

Vydeľte číslo 48 číslom 4.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

Číslo 12, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok 6. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu 6. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

Umocnite číslo 6.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Prirátajte \frac{81}{4} ku 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Rozložte x^{2}+12x+36 na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Odčítajte hodnotu 6 od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$