Vyriešiť 4x^2+4x+9=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0,5+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,414213562i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, 4 za b a 9 za c.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslom 9.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

Prirátajte 16 ku -144.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -128.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}, keď ± je plus. Prirátajte -4 ku 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

Vydeľte číslo -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} číslom 8.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 8i\sqrt{2} od čísla -4.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

Vydeľte číslo -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} číslom 8.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Odčítajte hodnotu 9 od oboch strán rovnice.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

Výsledkom odčítania čísla 9 od seba samého bude 0.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

Vydeľte číslo 4 číslom 4.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Číslo 1, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{1}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{1}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{1}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Prirátajte -\frac{9}{4} ku \frac{1}{4} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

Rozložte x^{2}+x+\frac{1}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Odčítajte hodnotu \frac{1}{2} od oboch strán rovnice.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$