Vyriešiť 4x^2+4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 4x^{2}+ax+bx+1. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=4 ab=4\times 1=4$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je kladné, a a b sú oba kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 4.

$$1,4 2,2$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1+4=5 2+2=4$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 4 súčtu.

$$a=2 b=2$$

Zapíšte 4x^{2}+4x+1 ako výraz \left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right).

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right)$$

Vyčleňte 2x z výrazu 4x^{2}+2x.

$$2x\left(2x+1\right)+2x+1$$

Vyberte spoločný člen 2x+1 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Prepíšte rovnicu ako druhú mocninu dvojčlena.

$$\left(2x+1\right)^{2}$$

Ak chcete nájsť riešenie rovnice, vyriešte 2x+1=0.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, 4 za b a 1 za c.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Prirátajte 16 ku -16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 0.

$$x=-\frac{4}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Vykráťte zlomok \frac{-4}{8} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

Odčítajte hodnotu 1 od oboch strán rovnice.

$$4x^{2}+4x+1-1=-1$$

Výsledkom odčítania čísla 1 od seba samého bude 0.

$$4x^{2}+4x=-1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Vydeľte číslo 4 číslom 4.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{4}$$

Číslo 1, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{1}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{1}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{1}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Prirátajte -\frac{1}{4} ku \frac{1}{4} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=0$$

Rozložte x^{2}+x+\frac{1}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{1}{2}=0 x+\frac{1}{2}=0$$

Odčítajte hodnotu \frac{1}{2} od oboch strán rovnice.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená. Riešenia sú rovnaké.

$$x=-\frac{1}{2}$$