Vyriešiť 4x^2+28x+40=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 40 = 0$$

Riešenie pre x

$$x=-5$$

$$x=-2$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare x^{2}+ax+bx+10. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=7 ab=1\times 10=10$$

Keďže ab je kladné, a a b majú rovnaký znak. Keďže a+b je kladné, a a b sú oba kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin 10.

$$1,10 2,5$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1+10=11 2+5=7$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje 7 súčtu.

$$a=2 b=5$$

Zapíšte x^{2}+7x+10 ako výraz \left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right).

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right)$$

x na prvej skupine a 5 v druhá skupina.

$$x\left(x+2\right)+5\left(x+2\right)$$

Vyberte spoločný člen x+2 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x+2=0 a x+5=0.

$$x=-2 x=-5$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, 28 za b a 40 za c.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo 28.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 40}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslom 40.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-640}}{2\times 4}$$

Prirátajte 784 ku -640.

$$x=\frac{-28±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 144.

$$x=\frac{-28±12}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$x=\frac{-28±12}{8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-28±12}{8}, keď ± je plus. Prirátajte -28 ku 12.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Vydeľte číslo -16 číslom 8.

$$x=-2$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-28±12}{8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 12 od čísla -28.

$$x=-\frac{40}{8}$$

Vydeľte číslo -40 číslom 8.

$$x=-5$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=-2 x=-5$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Odčítajte hodnotu 40 od oboch strán rovnice.

$$4x^{2}+28x+40-40=-40$$

Výsledkom odčítania čísla 40 od seba samého bude 0.

$$4x^{2}+28x=-40$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{40}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{40}{4}$$

Vydeľte číslo 28 číslom 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{40}{4}$$

Vydeľte číslo -40 číslom 4.

$$x^{2}+7x=-10$$

Číslo 7, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{7}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{7}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{7}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Prirátajte -10 ku \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Rozložte x^{2}+7x+\frac{49}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Odčítajte hodnotu \frac{7}{2} od oboch strán rovnice.

$$x=-2 x=-5$$