Vyriešiť 4x^2+14x-27=0

$$4 x ^ { 2 } + 14 x - 27 = 0$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{\sqrt{157} - 7}{4} \approx 1,382491022$$

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}\approx -4,882491022$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, 14 za b a -27 za c.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslom -27.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+432}}{2\times 4}$$

Prirátajte 196 ku 432.

$$x=\frac{-14±\sqrt{628}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 628.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8}, keď ± je plus. Prirátajte -14 ku 2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}-14}{8}$$

Vydeľte číslo -14+2\sqrt{157} číslom 8.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2\sqrt{157} od čísla -14.

$$x=\frac{-2\sqrt{157}-14}{8}$$

Vydeľte číslo -14-2\sqrt{157} číslom 8.

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

Prirátajte 27 ku obom stranám rovnice.

$$4x^{2}+14x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -27 od seba samého bude 0.

$$4x^{2}+14x=-\left(-27\right)$$

Odčítajte číslo -27 od čísla 0.

$$4x^{2}+14x=27$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}+14x}{4}=\frac{27}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$x^{2}+\frac{14}{4}x=\frac{27}{4}$$

Vykráťte zlomok \frac{14}{4} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{27}{4}$$

Číslo \frac{7}{2}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{7}{4}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{7}{4}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{7}{4} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{27}{4}+\frac{49}{16}$$

Prirátajte \frac{27}{4} ku \frac{49}{16} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{157}{16}$$

Rozložte x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{157}{16}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{16}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{157}}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{157}}{4}$$

Odčítajte hodnotu \frac{7}{4} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$