Vyriešiť 4x^2+12x+19=0

$$4 x ^ { 2 } + 12 x + 19 = 0$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2}\approx -1,5+1,58113883i$$

$$x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}\approx -1,5-1,58113883i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4x^{2}+12x+19=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, 12 za b a 19 za c.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\times 19}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\times 19}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-16\times 19}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslom 19.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-304}}{2\times 4}$$

Prirátajte 144 ku -304.

$$x=\frac{-12±\sqrt{-160}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -160.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8}, keď ± je plus. Prirátajte -12 ku 4i\sqrt{10}.

$$x=\frac{-12+4\sqrt{10}i}{8}$$

Vydeľte číslo -12+4i\sqrt{10} číslom 8.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-12±4\sqrt{10}i}{8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 4i\sqrt{10} od čísla -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{10}i-12}{8}$$

Vydeľte číslo -12-4i\sqrt{10} číslom 8.

$$x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2} x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+12x+19=0$$

Odčítajte hodnotu 19 od oboch strán rovnice.

$$4x^{2}+12x+19-19=-19$$

Výsledkom odčítania čísla 19 od seba samého bude 0.

$$4x^{2}+12x=-19$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}+12x}{4}=-\frac{19}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$x^{2}+\frac{12}{4}x=-\frac{19}{4}$$

Vydeľte číslo 12 číslom 4.

$$x^{2}+3x=-\frac{19}{4}$$

Číslo 3, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{3}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{3}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{3}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-19+9}{4}$$

Prirátajte -\frac{19}{4} ku \frac{9}{4} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{5}{2}$$

Rozložte x^{2}+3x+\frac{9}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{2}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{10}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{10}i}{2}$$

Odčítajte hodnotu \frac{3}{2} od oboch strán rovnice.

$$x=\frac{-3+\sqrt{10}i}{2} x=\frac{-\sqrt{10}i-3}{2}$$