Vyriešiť 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Riešenie pre n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Odčítajte 11 z oboch strán.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 4n^{2}+an+bn-11. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Keďže ab je záporná, a a b majú opačné znaky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet -7.

$$a=-11 b=4$$

Zapíšte 4n^{2}-7n-11 ako výraz \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Vyčleňte n z výrazu 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Vyberte spoločný člen 4n-11 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 4n-11=0 a n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4n^{2}-7n=11$$

Odčítajte hodnotu 11 od oboch strán rovnice.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Výsledkom odčítania čísla 11 od seba samého bude 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, -7 za b a -11 za c.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslom -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Prirátajte 49 ku 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

Opak čísla -7 je 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Vyriešte rovnicu n=\frac{7±15}{8}, keď ± je plus. Prirátajte 7 ku 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Vykráťte zlomok \frac{22}{8} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

Vyriešte rovnicu n=\frac{7±15}{8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 15 od čísla 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Vydeľte číslo -8 číslom 8.

$$n=-1$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Číslo -\frac{7}{4}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{7}{8}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{7}{8}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{7}{8} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Prirátajte \frac{11}{4} ku \frac{49}{64} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Rozložte výraz n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Zjednodušte.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Prirátajte \frac{7}{8} ku obom stranám rovnice.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$