Vyriešiť 4(x^2+2x)+1/x^2+2x=-5

$$4 ( x ^ { 2 } + 2 x ) + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 2 x } = - 5$$

Riešenie pre x

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1\approx -1,866025404$$

$$x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1\approx -0,133974596$$

$$x=-1$$

Postup riešenia

Premenná x sa nemôže rovnať žiadnej z hodnôt -2,0, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice premennou x\left(x+2\right).

$$4\left(x^{2}+2x\right)x\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 4 a x^{2}+2x.

$$\left(4x^{2}+8x\right)x\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 4x^{2}+8x a x.

$$\left(4x^{3}+8x^{2}\right)\left(x+2\right)+1=-5x\left(x+2\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 4x^{3}+8x^{2} a x+2 a zlúčenie podobných členov.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1=-5x\left(x+2\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie -5x a x+2.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1=-5x^{2}-10x$$

Pridať položku 5x^{2} na obidve snímky.

$$4x^{4}+16x^{3}+16x^{2}+1+5x^{2}=-10x$$

Skombinovaním 16x^{2} a 5x^{2} získate 21x^{2}.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+1=-10x$$

Pridať položku 10x na obidve snímky.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+1+10x=0$$

Zmeňte usporiadanie rovnice do štandardného tvaru. Členy zoraďte od najväčšieho po najmenší.

$$4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+10x+1=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu 1 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 4. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=-1$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo 4x^{4}+16x^{3}+21x^{2}+10x+1 číslom x+1 a dostanete 4x^{3}+12x^{2}+9x+1. Vyriešte rovnicu, kde sa výsledok rovná 0.

$$4x^{3}+12x^{2}+9x+1=0$$

Podľa pravidla racionálnych koreňov sú všetky racionálne korene polynómu v tvare \frac{p}{q}, kde p je deliteľom konštantného výrazu 1 a q je deliteľom vedúceho koeficientu 4. Uveďte zoznam všetkých kandidátov \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Nájdite jeden takýto koreň vyskúšaným všetkých celočíselných hodnôt, pričom začnite číslom s najmenšou absolútnou hodnotou. Ak sa nenájdu žiadne celočíselné korene, vyskúšajte zlomky.

$$x=-1$$

Podľa pravidla rozkladu na činitele je x-k faktor polynómu pre každý koreň k. Vydeľte číslo 4x^{3}+12x^{2}+9x+1 číslom x+1 a dostanete 4x^{2}+8x+1. Vyriešte rovnicu, kde sa výsledok rovná 0.

$$4x^{2}+8x+1=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 4 výrazom a, 8 výrazom b a 1 výrazom c.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\times 1}}{2\times 4}$$

Urobte výpočty.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{3}}{8}$$

Vyriešte rovnicu 4x^{2}+8x+1=0, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1 x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1$$

Uveďte všetky nájdené riešenia.

$$x=-1 x=-\frac{\sqrt{3}}{2}-1 x=\frac{\sqrt{3}}{2}-1$$