Vyriešiť 4(x^2+1)(2x^2+1)=5(x^2-1)^2

$$4 ( x ^ { 2 } + 1 ) ( 2 x ^ { 2 } + 1 ) = 5 ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 }$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx 2,716341211i$$

$$x=-\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx -0-2,716341211i$$

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0,212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0,212547035$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Použite distributívny zákon na vynásobenie 4 a x^{2}+1.

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 4x^{2}+4 a 2x^{2}+1 a zlúčenie podobných členov.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(x^{2}-1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

Ak chcete umocniť už umocnené číslo, vynásobte mocnitele. Vynásobením čísel 2 a 2 dostanete 4.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 5 a x^{4}-2x^{2}+1.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

Odčítajte 5x^{4} z oboch strán.

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

Skombinovaním 8x^{4} a -5x^{4} získate 3x^{4}.

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

Pridať položku 10x^{2} na obidve snímky.

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

Skombinovaním 12x^{2} a 10x^{2} získate 22x^{2}.

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

Odčítajte 5 z oboch strán.

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

Odčítajte 5 z 4 a dostanete -1.

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

Náhrada t za x^{2}.

$$3t^{2}+22t-1=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 3 výrazom a, 22 výrazom b a -1 výrazom c.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Urobte výpočty.

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

Vyriešte rovnicu t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

Keďže x=t^{2}, riešenia sa získajú vyhodnotením x=±\sqrt{t} pre každé t.

$$x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}} x=i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}}$$

Riešenie pre x

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0,212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0,212547035$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Použite distributívny zákon na vynásobenie 4 a x^{2}+1.

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie výrazov 4x^{2}+4 a 2x^{2}+1 a zlúčenie podobných členov.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Na rozloženie výrazu \left(x^{2}-1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

Ak chcete umocniť už umocnené číslo, vynásobte mocnitele. Vynásobením čísel 2 a 2 dostanete 4.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 5 a x^{4}-2x^{2}+1.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

Odčítajte 5x^{4} z oboch strán.

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

Skombinovaním 8x^{4} a -5x^{4} získate 3x^{4}.

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

Pridať položku 10x^{2} na obidve snímky.

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

Skombinovaním 12x^{2} a 10x^{2} získate 22x^{2}.

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

Odčítajte 5 z oboch strán.

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

Odčítajte 5 z 4 a dostanete -1.

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

Náhrada t za x^{2}.

$$3t^{2}+22t-1=0$$

Všetky rovnice vo formulári ax^{2}+bx+c=0 je možné riešiť pomocou vzorca pre kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. V kvadratickej rovnici nahraďte 3 výrazom a, 22 výrazom b a -1 výrazom c.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Urobte výpočty.

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

Vyriešte rovnicu t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}, ak ± je plus a ak ± je mínus.

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

Keďže x=t^{2}, riešenia sa získajú vyhodnotením x=±\sqrt{t} pre každé t.

$$x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}}$$