Vyriešiť 4x^2-7x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -7x-15 = 0$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

$$x=3$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 4x^{2}+ax+bx-15. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-7 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -7 súčtu.

$$a=-12 b=5$$

Zapíšte 4x^{2}-7x-15 ako výraz \left(4x^{2}-12x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(5x-15\right)$$

4x na prvej skupine a 5 v druhá skupina.

$$4x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Vyberte spoločný člen x-3 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-3\right)\left(4x+5\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-3=0 a 4x+5=0.

$$x=3 x=-\frac{5}{4}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4x^{2}-7x-15=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, -7 za b a -15 za c.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslom -15.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+240}}{2\times 4}$$

Prirátajte 49 ku 240.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{289}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 289.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±17}{2\times 4}$$

Opak čísla -7 je 7.

$$x=\frac{7±17}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$x=\frac{7±17}{8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{7±17}{8}, keď ± je plus. Prirátajte 7 ku 17.

$$x=\frac{24}{8}$$

Vydeľte číslo 24 číslom 8.

$$x=3$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{7±17}{8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 17 od čísla 7.

$$x=-\frac{10}{8}$$

Vykráťte zlomok \frac{-10}{8} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=3 x=-\frac{5}{4}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x-15=0$$

Prirátajte 15 ku obom stranám rovnice.

$$4x^{2}-7x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -15 od seba samého bude 0.

$$4x^{2}-7x=-\left(-15\right)$$

Odčítajte číslo -15 od čísla 0.

$$4x^{2}-7x=15$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{15}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{15}{4}$$

Číslo -\frac{7}{4}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{7}{8}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{7}{8}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{7}{8} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{15}{4}+\frac{49}{64}$$

Prirátajte \frac{15}{4} ku \frac{49}{64} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{289}{64}$$

Rozložte x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{289}{64}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{64}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{17}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{17}{8}$$

Prirátajte \frac{7}{8} ku obom stranám rovnice.

$$x=3 x=-\frac{5}{4}$$