Vyriešiť 4x^2-4x-16=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-16=0$$

Riešenie pre x

$$x = \frac{\sqrt{17} + 1}{2} \approx 2,561552813$$

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1,561552813$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, -4 za b a -16 za c.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslom -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+256}}{2\times 4}$$

Prirátajte 16 ku 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{272}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 272.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Opak čísla -4 je 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}, keď ± je plus. Prirátajte 4 ku 4\sqrt{17}.

$$x=\frac{4\sqrt{17}+4}{8}$$

Vydeľte číslo 4+4\sqrt{17} číslom 8.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 4\sqrt{17} od čísla 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{17}}{8}$$

Vydeľte číslo 4-4\sqrt{17} číslom 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Prirátajte 16 ku obom stranám rovnice.

$$4x^{2}-4x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -16 od seba samého bude 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-16\right)$$

Odčítajte číslo -16 od čísla 0.

$$4x^{2}-4x=16$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{16}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{16}{4}$$

Vydeľte číslo -4 číslom 4.

$$x^{2}-x=\frac{16}{4}$$

Vydeľte číslo 16 číslom 4.

$$x^{2}-x=4$$

Číslo -1, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{1}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{1}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{1}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}$$

Prirátajte 4 ku \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$$

Rozložte x^{2}-x+\frac{1}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{2}$$

Prirátajte \frac{1}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$