Vyriešiť 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

Riešenie pre x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare 4x^{2}+ax+bx-15. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém tak, aby sa vyriešiť.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Keďže ab je záporná, a a b majú protiľahlom značky. Keďže a+b je záporná hodnota, záporné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako kladné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Riešenie je pár, ktorá poskytuje -4 súčtu.

$$a=-10 b=6$$

Zapíšte 4x^{2}-4x-15 ako výraz \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

2x na prvej skupine a 3 v druhá skupina.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Vyberte spoločný člen 2x-5 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte 2x-5=0 a 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, -4 za b a -15 za c.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslom -15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Prirátajte 16 ku 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

Opak čísla -4 je 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{4±16}{8}, keď ± je plus. Prirátajte 4 ku 16.

$$x=\frac{20}{8}$$

Vykráťte zlomok \frac{20}{8} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{4±16}{8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 16 od čísla 4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Vykráťte zlomok \frac{-12}{8} na základný tvar extrakciou a elimináciou 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Prirátajte 15 ku obom stranám rovnice.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Výsledkom odčítania čísla -15 od seba samého bude 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

Odčítajte číslo -15 od čísla 0.

$$4x^{2}-4x=15$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

Vydeľte číslo -4 číslom 4.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

Číslo -1, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{1}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{1}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{1}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Prirátajte \frac{15}{4} ku \frac{1}{4} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

Rozložte x^{2}-x+\frac{1}{4} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

Prirátajte \frac{1}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$