Vyriešiť 4x^2-10x+9=0

$$4 { x }^{ 2 } -10x+9=0$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{11}i}{4}\approx 1,25+0,829156198i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+5}{4}\approx 1,25-0,829156198i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4x^{2}-10x+9=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, -10 za b a 9 za c.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-16\times 9}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslom 9.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-144}}{2\times 4}$$

Prirátajte 100 ku -144.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-44}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -44.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{11}i}{2\times 4}$$

Opak čísla -10 je 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{11}i}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$x=\frac{10±2\sqrt{11}i}{8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{10±2\sqrt{11}i}{8}, keď ± je plus. Prirátajte 10 ku 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{11}i}{8}$$

Vydeľte číslo 10+2i\sqrt{11} číslom 8.

$$x=\frac{5+\sqrt{11}i}{4}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{10±2\sqrt{11}i}{8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 2i\sqrt{11} od čísla 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i+10}{8}$$

Vydeľte číslo 10-2i\sqrt{11} číslom 8.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+5}{4}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{5+\sqrt{11}i}{4} x=\frac{-\sqrt{11}i+5}{4}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-10x+9=0$$

Odčítajte hodnotu 9 od oboch strán rovnice.

$$4x^{2}-10x+9-9=-9$$

Výsledkom odčítania čísla 9 od seba samého bude 0.

$$4x^{2}-10x=-9$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}-10x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{4}\right)x=-\frac{9}{4}$$

Vykráťte zlomok \frac{-10}{4} na základný tvar extrakciou a elimináciou 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{9}{4}$$

Číslo -\frac{5}{2}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{5}{4}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{5}{4}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{5}{4} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{9}{4}+\frac{25}{16}$$

Prirátajte -\frac{9}{4} ku \frac{25}{16} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{11}{16}$$

Rozložte x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{11}{16}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{16}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{11}i}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{11}i}{4}$$

Prirátajte \frac{5}{4} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{5+\sqrt{11}i}{4} x=\frac{-\sqrt{11}i+5}{4}$$