Vyriešiť 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

Riešenie pre x

$$x=-6$$

$$x=5$$

Postup pri rozkladaní na faktory pomocou zoskupenia

Odčítajte 120 z oboch strán.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$x^{2}+x-30=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť, rozložte ľavú stranu na faktory pomocou zoskupenia. Najprv musí byť ľavá strana prepísaná v tvare x^{2}+ax+bx-30. Ak chcete nájsť a a b, nastavte systém, ktorý sa má vyriešiť.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Keďže ab je záporná, a a b majú opačné znaky. Keďže a+b je kladná hodnota, kladné číslo má vyššiu absolútnu hodnotu ako záporné. Uveďte všetky takéto celočíselné páry, ktoré poskytujú súčin -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Vypočítajte súčet pre každý pár.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Riešením je dvojica, ktorá poskytuje súčet 1.

$$a=-5 b=6$$

Zapíšte x^{2}+x-30 ako výraz \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

Vyčleňte x v prvej a 6 v druhej skupine.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Vyberte spoločný člen x-5 pred zátvorku pomocou distributívneho zákona.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Ak chcete nájsť riešenia rovníc, vyriešte x-5=0 a x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$4x^{2}+4x=120$$

Odčítajte hodnotu 120 od oboch strán rovnice.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

Výsledkom odčítania čísla 120 od seba samého bude 0.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 4 za a, 4 za b a -120 za c.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Umocnite číslo 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo -16 číslom -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Prirátajte 16 ku 1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla 1936.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-4±44}{8}, keď ± je plus. Prirátajte -4 ku 44.

$$x=\frac{40}{8}$$

Vydeľte číslo 40 číslom 8.

$$x=5$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{-4±44}{8}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo 44 od čísla -4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Vydeľte číslo -48 číslom 8.

$$x=-6$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=5 x=-6$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=120$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

Delenie číslom 4 ruší násobenie číslom 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

Vydeľte číslo 4 číslom 4.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

Vydeľte číslo 120 číslom 4.

$$x^{2}+x=30$$

Číslo 1, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok \frac{1}{2}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu \frac{1}{2}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok \frac{1}{2} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Prirátajte 30 ku \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Rozložte výraz x^{2}+x+\frac{1}{4} na činitele. Keď je výraz x^{2}+bx+c dokonalou mocninou, vo všeobecnosti sa vždy dá rozložiť na činitele ako je \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Zjednodušte.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Odčítajte hodnotu \frac{1}{2} od oboch strán rovnice.

$$x=5 x=-6$$