Vyriešiť 31x^2-3x+1=0

$$31 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$$

Riešenie pre x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}\approx 0,048387097+0,172964602i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}\approx 0,048387097-0,172964602i$$

Postup použitia kvadratickej rovnice

Všetky rovnice v tvare ax^{2}+bx+c=0 je možné vyriešiť ako kvadratickú rovnicu: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Výsledkom kvadratickej rovnice sú dve riešenia, jedno pre súčet a druhé pre rozdiel ±.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Táto rovnica má štandardný formát: ax^{2}+bx+c=0. Do kvadratického vzorca \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} dosaďte 31 za a, -3 za b a 1 za c.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 31}}{2\times 31}$$

Umocnite číslo -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 31}}{2\times 31}$$

Vynásobte číslo -4 číslom 31.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-124}}{2\times 31}$$

Prirátajte 9 ku -124.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-115}}{2\times 31}$$

Vypočítajte druhú odmocninu čísla -115.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Opak čísla -3 je 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Vynásobte číslo 2 číslom 31.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62}, keď ± je plus. Prirátajte 3 ku i\sqrt{115}.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}$$

Vyriešte rovnicu x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62}, keď ± je mínus. Odčítajte číslo i\sqrt{115} od čísla 3.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Teraz je rovnica vyriešená.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Postup doplnenia na druhú mocninu dvojčlena

Takéto kvadratické rovnice možno vyriešiť doplnením na druhú mocninu dvojčlena. Ak chcete rovnicu doplniť na druhú mocninu dvojčlena, musí byť najskôr v tvare x^{2}+bx=c.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Odčítajte hodnotu 1 od oboch strán rovnice.

$$31x^{2}-3x+1-1=-1$$

Výsledkom odčítania čísla 1 od seba samého bude 0.

$$31x^{2}-3x=-1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 31.

$$\frac{31x^{2}-3x}{31}=-\frac{1}{31}$$

Delenie číslom 31 ruší násobenie číslom 31.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x=-\frac{1}{31}$$

Číslo -\frac{3}{31}, koeficient člena x, vydeľte číslom 2 a získajte výsledok -\frac{3}{62}. Potom pridajte k obidvom stranám rovnice druhú mocninu -\frac{3}{62}. V tomto kroku sa z ľavej strany rovnice stane dokonalá mocnina.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{1}{31}+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}$$

Umocnite zlomok -\frac{3}{62} tak, že umocníte čitateľa aj menovateľa zlomku.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{1}{31}+\frac{9}{3844}$$

Prirátajte -\frac{1}{31} ku \frac{9}{3844} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{115}{3844}$$

Rozložte x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844} na faktory. Všeobecne platí, že keď je x^{2}+bx+c dokonalá mocnina, dá sa vždy rozložte na faktory ako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{115}{3844}$$

Vypočítajte druhú odmocninu oboch strán rovnice.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{3844}}$$

Zjednodušte.

$$x-\frac{3}{62}=\frac{\sqrt{115}i}{62} x-\frac{3}{62}=-\frac{\sqrt{115}i}{62}$$

Prirátajte \frac{3}{62} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$